Формула для расчета распределения Стьюдента
Формула для расчета T-распределения (которая также широко известна как T-распределение Стьюдента) показана как вычитание среднего значения генеральной совокупности (среднего значения второй выборки) из среднего значения выборки (среднего значения первой выборки), которое равно [x-bar - μ], что затем делится на стандартное отклонение средних значений, которое первоначально делится на квадратный корень из n, который представляет собой количество единиц в этой выборке [s ÷ √ (n)].
Т-распределение - это своего рода распределение, которое выглядит почти как кривая нормального распределения или колоколообразная кривая, но с немного более толстым и коротким хвостом. Когда размер выборки невелик, то это распределение будет использоваться вместо нормального распределения.
Где,
- x - выборочное среднее
- μ - среднее значение по совокупности
- s - стандартное отклонение
- n - размер данной выборки
Расчет Т-распределения
Расчет t-распределения Стьюдента довольно прост, но да, значения необходимы. Например, требуется среднее значение генеральной совокупности, которое является средним вселенским, которое является не чем иным, как средним для генеральной совокупности, тогда как выборочное среднее требуется для проверки подлинности генеральной совокупности, означает, действительно ли утверждение, заявленное на основе генеральной совокупности, истинно, и выборка, если таковая имеется будет представлять то же заявление. Таким образом, формула распределения t здесь вычитает среднее значение выборки из среднего значения генеральной совокупности, а затем делит его на стандартное отклонение и умножает на квадратный корень из размера выборки для стандартизации значения.
Однако, поскольку нет диапазона для вычисления t-распределения, значение может быть странным, и мы не сможем вычислить вероятность, поскольку t-распределение Стьюдента имеет ограничения на получение значения и, следовательно, оно полезно только для меньшего размера выборки. Кроме того, чтобы рассчитать вероятность после получения балла, необходимо найти его значение из таблицы распределения t студента.
Примеры
Вы можете скачать этот шаблон Excel T Distribution здесь - Шаблон Excel T DistributionПример # 1
Учтите, что вам даны следующие переменные:
- Среднее по совокупности = 310
- Стандартное отклонение = 50
- Размер выборки = 16
- Среднее значение выборки = 290
Рассчитайте значение t-распределения.
Решение:
Используйте следующие данные для расчета распределения T.
Итак, расчет распределения T может быть выполнен следующим образом:
Здесь указаны все значения, нам просто нужно их включить.
Мы можем использовать формулу распределения t
Значение t = (290 - 310) / (50 / √16)
Значение T = -1,60
Пример # 2
Компания SRH утверждает, что ее сотрудники на уровне аналитиков зарабатывают в среднем 500 долларов в час. Выбрана выборка из 30 сотрудников на уровне аналитика, и их средний заработок в час составлял 450 долларов с выборочным отклонением 30 долларов, и, предполагая, что их утверждение истинно, вычислите значение t-распределения, которое должно использоваться для определения вероятности t - распространение.
Решение:
Используйте следующие данные для расчета распределения T.
Итак, расчет распределения T может быть выполнен следующим образом:
Здесь указаны все значения, нам просто нужно их включить.
Мы можем использовать формулу распределения t
Значение t = (450 - 500) / (30 / √30)
Значение T = -9,13
Следовательно, значение t-балла равно -9,13.
Пример # 3
Совет универсального колледжа провёл тест уровня IQ для 50 случайно выбранных профессоров. И в результате они обнаружили, что средний балл уровня IQ был 120 с дисперсией 121. Предположим, что t-балл равен 2,407. Какое среднее значение для этого теста дает значение t-балла 2,407?
Решение:
Используйте следующие данные для расчета распределения T.
Здесь все значения указаны вместе со значением t, на этот раз нам нужно вычислить среднее значение генеральной совокупности, а не значение t.
Опять же, мы будем использовать доступные данные и вычислить средние значения совокупности, вставив значения, указанные в формуле ниже.
Среднее значение выборки равно 120, среднее значение генеральной совокупности неизвестно, стандартное отклонение выборки будет квадратным корнем из дисперсии, равным 11, а размер выборки - 50.
Итак, расчет среднего значения совокупности (μ) может быть выполнен следующим образом:
Мы можем использовать формулу распределения t
Значение t = (120 - μ) / (11 / √50)
2,407 = (120 - мк) / (11 / √50)
-μ = -2,407 * (11 / √50) -120
Среднее по совокупности (μ) будет -
μ = 116,26
Следовательно, значение для среднего населения будет 116,26.
Актуальность и использование
Распределение T (и связанные с ним значения t-баллов) используется при проверке гипотез, когда нужно выяснить, следует ли отклонить или принять нулевую гипотезу.
На приведенном выше графике центральная область будет зоной приема, а хвостовая область - зоной отклонения. На этом графике, который представляет собой двусторонний тест, заштрихованная синим цветом будет область отклонения. Область в области хвоста может быть описана либо с помощью t-баллов, либо с помощью z-показателей. Возьмем, к примеру, изображение слева, которое будет отображать область в пять процентов хвостов (что составляет 2,5% с обеих сторон). Z-оценка должна быть 1,96 (взяв значение из z-таблицы), что должно представлять эти 1,96 стандартных отклонения от среднего или среднего значения. Нулевая гипотеза может быть отклонена, если значение показателя z меньше значения -1,96 или значение показателя z больше 1,96.
В общем, это распределение должно использоваться, как описано ранее, если у вас меньший размер выборки (в основном менее 30) или если кто-то не знает, что такое дисперсия генеральной совокупности или стандартное отклонение генеральной совокупности. Для практических целей (то есть в реальном мире) так будет всегда. Если размер предоставленной выборки достаточно велик, то 2 распределения будут практически одинаковыми.