Что такое кривая колокола?
Колоколообразная кривая - это нормальное распределение вероятностей переменных, нанесенное на график и имеющее форму колокола, где самая высокая или верхняя точка кривой представляет наиболее вероятное событие из всех данных ряда.
Формула колоколообразной кривой приведена ниже:
Где,
- μ средний
- σ - стандартное отклонение
- π равно 3,14159
- e равно 2,71828
Объяснение
- Среднее значение обозначается μ, что означает центр или середину распределения.
- Горизонтальная симметрия относительно вертикальной линии, которая равна x = μ, поскольку в показателе степени есть квадрат.
- Стандартное отклонение обозначается σ и связано с разбросом распределения. По мере увеличения σ нормальное распределение будет расширяться. В частности, пик распределения не такой высокий, и хвост распределения должен стать толще.
- π - постоянное число пи и бесконечное число, не повторяющееся в десятичном разложении.
- e представляет собой другую константу, которая также трансцендентна и иррациональна, как пи.
- В экспоненте стоит неположительный знак, а остальные члены возведены в квадрат в показателе экспоненты. Это означает, что показатель степени всегда будет отрицательным. И из-за этого функция является возрастающей функцией для всех x средних μ.
- Другая горизонтальная асимптота соответствует горизонтальной линии y, которая равна 0, что означает, что график функции никогда не коснется оси x и будет иметь ноль.
- Квадратный корень в термине excel нормализует формулу, что означает, что при интеграции функции поиска области под кривой, вся площадь будет находиться под кривой, и это единица, что соответствует 100%.
- Эта формула связана с нормальным распределением и используется для вычисления вероятностей.
Примеры
Вы можете скачать этот шаблон для Excel с формулой кривой Белла здесь - Шаблон для Excel с формулой кривой БеллаПример # 1
Считайте данное вам среднее значение 950, стандартное отклонение - 200. Вам необходимо вычислить y для x = 850, используя уравнение кривой колокола.
Решение:
Используйте следующие данные для расчета
Во-первых, нам даны все значения, то есть среднее значение 950, стандартное отклонение 200 и x 850, нам просто нужно вставить цифры в формулу и попытаться вычислить y.
Формула колоколообразной кривой приведена ниже:
y = 1 / (200√2 * 3,14159) ^ e- (850 - 950) / 2 * (200 ^ 2)
у будет -
у = 0,0041
После выполнения вышеуказанных вычислений (проверьте шаблон Excel) у нас есть значение y как 0,0041.
Пример # 2
Сунита - бегунья, она готовится к предстоящим Олимпийским играм, и она хочет определить, что гонка, в которой она будет участвовать, имеет точный расчет времени, поскольку задержка на части может принести ей золото на Олимпийских играх. Ее брат - статистик, и он отметил, что среднее время ее сестры составляет 10,33 секунды, тогда как стандартное отклонение ее хронометража составляет 0,57 секунды, что довольно рискованно, поскольку такая задержка может привести к тому, что она выиграет золото на Олимпийских играх. Используя уравнение колоколообразной кривой, какова вероятность того, что Сунита завершит гонку за 10,22 секунды?
Решение:
Используйте следующие данные для расчета
Во-первых, нам даны все значения, то есть среднее значение 10,33 секунды, стандартное отклонение 0,57 секунды и x 10,22, нам просто нужно вставить цифры в формулу и попытаться вычислить y.
Формула колоколообразной кривой приведена ниже:
y = 1 / (0,57√2 * 3,14159) ^ e- (850 - 950) / 2 * (200 ^ 2)
у будет -
у = 0,7045
После выполнения вышеуказанных вычислений (проверьте шаблон Excel) у нас есть значение y как 0,7045.
Пример # 3
Hari-baktii limited - аудиторская фирма. Недавно был проведен обязательный аудит банка ABC, и они отметили, что в последних нескольких аудитах они выбрали неправильную выборку, которая давала неверное представление о генеральной совокупности, например, в случае дебиторской задолженности выбранная ими выборка отражала, что дебиторская задолженность была подлинной, но позже было обнаружено, что в совокупности дебиторской задолженности было много фиктивных записей.
Итак, теперь они пытаются проанализировать, какова вероятность выбора плохой выборки, которая сделает генеральную совокупность правильной, даже если выборка не является правильным представлением этой совокупности. У них есть помощник по статьям, который хорошо разбирается в статистике, и недавно он узнал об уравнении кривой колокола.
Итак, он решает использовать эту формулу, чтобы найти вероятность получения как минимум 7 неправильных образцов. Он вошел в историю фирмы и обнаружил, что средняя неверная выборка, которую они собирают из совокупности, составляет от 5 до 10, а стандартное отклонение равно 2.
Решение:
Используйте следующие данные для расчета
Во-первых, нам нужно взять среднее из двух приведенных чисел, то есть для среднего значения как (5 + 10) / 2, что составляет 7,50, стандартное отклонение как 2 и x как 7, нам просто нужно вставить цифры в формулу и попробовать чтобы вычислить y.
Формула колоколообразной кривой приведена ниже:
у = 1 / (2√2 * 3,14159) ^ e- (7-7,5) / 2 * (2 ^ 2)
у будет -
у = 0,2096
После выполнения вышеуказанной математики (проверьте шаблон Excel) у нас есть значение y как 0,2096.
Таким образом, есть 21% шанс, что и на этот раз они могли взять 7 неверных образцов в ходе аудита.
Актуальность и использование
Эта функция будет использоваться для описания событий, которые являются физическими, то есть количество событий огромно. Проще говоря, можно не суметь предсказать, что будет в результате выполнения пункта, если имеется целая тонна наблюдений, но можно предсказать, что они будут делать в целом. Возьмем пример, предположим, что у кого-то есть газовый баллон с постоянной температурой, нормальное распределение или кривая колокола позволит этому человеку вычислить вероятность того, что одна частица будет двигаться с определенной скоростью.
Финансовый аналитик часто будет использовать нормальное распределение вероятностей или, скажем, кривую колокола при анализе доходности общей чувствительности рынка или ценных бумаг.
Например, акции, которые отображают кривую колокола, обычно относятся к категории голубых фишек, и они должны иметь более низкую волатильность и часто более поведенческие модели, которые должны быть предсказуемыми, и, следовательно, они используют нормальное распределение вероятностей или кривую колокола предыдущей доходности акции. предположения об ожидаемой доходности.