Формула Z-теста в статистике | Пошаговый расчет (примеры)

Формула для расчета Z-теста в статистике

Z-тест в статистике относится к тесту гипотезы, который используется для определения того, различаются ли рассчитанные средние двух выборок, в случае, если доступны стандартные отклонения и выборка велика.

Z = (х - μ) / ơ

где x = любое значение из совокупности

μ = среднее значение по совокупности
ơ = стандартное отклонение совокупности

В случае выборки формула для статистики значения z-критерия вычисляется путем вычитания выборочного среднего из значения x, а затем результат делится на стандартное отклонение выборки. Математически это представлено как,

Z = (x - x_mean ) / с

где

x = любое значение из образца
x_mean = выборочное среднее
s = стандартное отклонение выборки

Расчет Z-теста (шаг за шагом)

Формула для статистики z-критерия для генеральной совокупности выводится с помощью следующих шагов:

Шаг 1. Во-первых, вычислите средние по совокупности и стандартное отклонение по совокупности на основе наблюдения, зафиксированного в среднем по совокупности, и каждое наблюдение обозначается x _i . Общее количество наблюдений в популяции обозначено N.

Средняя численность населения,

Стандартное отклонение населения,

Шаг 2: Наконец, статистика z-критерия вычисляется путем вычитания среднего значения совокупности из переменной, а затем результат делится на стандартное отклонение совокупности, как показано ниже.

Z = (х - μ) / ơ

Формула для статистики z-критерия для выборки выводится с помощью следующих шагов:

Шаг 1. Во-первых, вычислите среднее значение выборки и стандартное отклонение выборки, как указано выше. Здесь общее количество наблюдений в выборке обозначено n таким, что n <N.

Выборочное среднее,

Стандартное отклонение выборки,

Шаг 2: Наконец, статистика z-критерия рассчитывается путем вычитания выборочного среднего из значения x, а затем результат делится на стандартное отклонение выборки, как показано ниже.

Z = (x - x_mean ) / с

Примеры

Вы можете скачать этот шаблон Excel формулы Z-теста здесь - Шаблон Excel формулы Z-теста

Пример # 1

Предположим, что в школе есть группа учеников, пришедшая на контрольную работу в классе. Средний балл в тесте составляет 75, а стандартное отклонение - 15. Определите балл по z-тесту Дэвида, набравшего 90 баллов.

Данный,

Среднее по генеральной совокупности, μ = 75
Стандартное отклонение населения, = 15

Следовательно, статистику z-критерия можно рассчитать как

Z = (90 - 75) / 15

Статистика Z-теста будет -

Z = 1

Таким образом, результат теста Дэвида на одно стандартное отклонение выше среднего показателя по населению, т. Е. Согласно таблице z-значений, у 84,13% учеников меньше баллов, чем у Дэвида.

Пример # 2

Давайте возьмем пример из 30 студентов, которые были отобраны в составе выборочной команды для опроса, чтобы узнать, сколько карандашей использовалось в неделю. Определите балл z-теста для 3-го ученика на основе заданных ответов: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4 , 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.

Данный,

x = 5, поскольку ответ 3-го ученика равен 5
Размер выборки, n = 30

Примерное среднее, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30

Среднее = 4,17

Теперь стандартное отклонение выборки можно рассчитать, используя приведенную выше формулу.

ơ = 1,90

Таким образом, результат z-теста для 3-го студента можно рассчитать как

Z = (х - х) / с

Z = (5–17) / 1,90
Z = 0,44

Таким образом, использование 3-го студента в 0,44 раза превышает стандартное отклонение по сравнению со средним использованием образца, т.е. согласно таблице z-значений, 67% студентов используют меньше карандашей, чем 3-й ученик.

Пример # 3

Ниже приведены данные для расчета статистики Z-теста.

Вы можете обратиться к данной таблице Excel ниже для подробного расчета статистики Z-теста.

Актуальность и использование

Это очень важно понять концепцию статистики г-тест, так как он обычно используется всякий раз, когда есть основания предполагать, следует ли или нет тестовой статистика нормального распределения при соответствующей нулевой гипотезе. Однако следует иметь в виду, что z-критерий используется только тогда, когда размер выборки больше 30, в противном случае используется t-критерий.