Экспоненциальное распределение (определение, формула) | Как рассчитать?

Что такое экспоненциальное распределение?

Экспоненциальное распределение относится к непрерывному и постоянному распределению вероятностей, которое фактически используется для моделирования периода времени, в течение которого человек должен ждать, прежде чем произойдет данное событие, и это распределение является непрерывным аналогом геометрического распределения, которое вместо этого отличается.

Формула экспоненциального распределения

Говорят, что непрерывная случайная величина x (с параметром масштаба λ> 0) имеет экспоненциальное распределение, только если ее функция плотности вероятности может быть выражена путем умножения параметра масштаба на экспоненциальную функцию отрицательного параметра масштаба и x для всех x, больших или равна нулю, в противном случае функция плотности вероятности равна нулю.

Математически функция плотности вероятности представлена ​​как,

такое, что среднее значение равно 1 / λ, а дисперсия равна 1 / λ2.

Расчет экспоненциального распределения (шаг за шагом)

  • Шаг 1. Во-первых, попытайтесь выяснить, является ли рассматриваемое событие непрерывным и независимым по своей природе и происходит ли примерно с постоянной скоростью. Любое практическое мероприятие гарантирует, что переменная больше или равна нулю.
  • Шаг 2: Затем определите значение параметра масштаба, которое неизменно является обратной величиной среднего.
    • λ = 1 / среднее
  • Шаг 3: Затем умножьте масштабный параметр λ и переменную x, а затем вычислите экспоненциальную функцию произведения, умноженную на минус один, т.е. e– λ * x.
  • Шаг 4: Наконец, функция плотности вероятности вычисляется путем умножения экспоненциальной функции и параметра масштаба.

Если приведенная выше формула верна для всех x, больших или равных нулю, то x является экспоненциальным распределением.

пример

Вы можете скачать этот шаблон Excel с экспоненциальным распределением здесь - Шаблон Excel с экспоненциальным распределением

Давайте возьмем пример x, который представляет собой количество времени, затрачиваемое (в минутах) офисным служащим на доставку от стола менеджера до стола клерка. Предполагается, что функция затраченного времени имеет экспоненциальное распределение со средним временем, равным пяти минутам.

Учитывая, что x является непрерывной случайной величиной, поскольку время измеряется.

Среднее, μ = 5 минут

Следовательно, масштабный параметр λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Следовательно, функция вероятности экспоненциального распределения может быть получена как

f (x) = 0,20 e– 0,20 * x

Теперь вычислите функцию вероятности при различных значениях x, чтобы получить кривую распределения.

Для x = 0

функция вероятности экспоненциального распределения для x = 0 будет,

Аналогичным образом вычислите функцию вероятности экспоненциального распределения для x = 1 до x = 30.

  • Для x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
  • Для x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
  • Для x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
  • Для x = 3 f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • Для x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
  • Для x = 5 f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
  • Для x = 6 f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
  • Для x = 7 f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
  • Для x = 8 f ​​(8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
  • Для x = 9 f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
  • Для x = 10 f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
  • Для x = 11 f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • Для x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • Для x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • Для x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
  • Для x = 15 f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • Для x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
  • Для x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
  • Для x = 18 f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • Для x = 19 f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • Для x = 20 f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
  • Для x = 21 f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • Для x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • Для x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • Для x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • Для x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • Для x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • Для x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
  • Для x = 28 f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • Для x = 29 f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • Для x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Мы получили кривую распределения следующим образом:

Актуальность и использование

Хотя предположение о постоянной скорости очень редко выполняется в реальных сценариях, если временной интервал выбран таким образом, чтобы скорость была примерно постоянной, то экспоненциальное распределение можно использовать в качестве хорошей приближенной модели. Он имеет множество других приложений в области физики, гидрологии и т. Д.

В статистике и теории вероятностей выражение экспоненциального распределения относится к распределению вероятностей, которое используется для определения времени между двумя последовательными событиями, которые происходят независимо и непрерывно с постоянной средней скоростью. Это одно из широко используемых непрерывных распределений, и оно строго связано с распределением Пуассона в excel.